变量x,y,z满足x^2+y^2+z^=1,(x-1)^2+(y+2√2)^2+(z-4)^2的最小值

这是2个球相切的问题
球1:x^2+y^2+z^=1,球心(0,0,0),半径1
球2:(x-1)^2+(y+2√2)^2+(z-4)^2=r^2,球心(1,-2√2,4),半径r

两球外切时,半径r最小,球心距离=半径和,则
1^2+(-2√2)^2+4^2=(1+r)^2
1+8+16=(1+r)^2
r=4

所以,(x-1)^2+(y+2√2)^2+(z-4)^2的最小值=r^2=16

对本题来说,还有最大值,r=6时最大,值是36

1. f=(x-1)^2+(y+2√2)^2+(z-4)^2为二次型，在x^2+y^2+z^2=1条件下f的最小值为二次型系数矩阵的最小特征值，最大值为最大的特征值。

2.引入任意参数λ，应用lagrange不定乘数法求多元函数极值应该也是可以的。

3.利用球坐标变换转换为二元函数极值问题。

4.利用动态规划，目标函数为v=(x-1)^2+(y+2√2)^2+(z-4)^2，求min(v),约束条件为x^2+y^2+z^2=1。

5.利用计算机软件求解。lingo,mathematica都可以。例如在Mathematica 7中输入以下函数：
Minimize[{(x - 1)^2 + (y + 2 Sqrt[2])^2 + (z - 4)^2,
x^2 + y^2 + z^2 == 1}, {x, y, z}]
结果是：
{16, {x -> 1/5, y -> -((2 Sqrt[2])/5), z -> 4/5}}

不同的看法就有不同的解法，楼上的解法也非常漂亮，
如果你能一眼看出答案那是更好。